Du skal logge ind for at skrive en note

Ligningen

y = 2x + 3

fremstiller som bekendt en linje i koordinatsystemet. Dette betyder, at punkterne på linjen passer i ligningen, og at punkter uden for linjen ikke passer.

En cirkel har i koordinatsystemet centrum i punktet C (a, b) og radius r (fig. 9.6). Vi vil finde en ligning for cirklen, dvs. en ligning i x og y, som opfyldes af koordinaterne til punkter på cirklen og ikke af andre end disse.

Du skal logge ind for at skrive en note
Fig. 9.6
Fig. 9.6
Du skal logge ind for at skrive en note

Cirkelperiferien består netop af de punkter P, hvis afstand til centrum C er r. Hvis vi betegner et punkt på periferien med P\; (x, y), gælder altså \left|CP\right|=r, og dette gælder ikke for andre punkter end dem, der ligger på cirklen. Vi kan bruge afstandsformlen og omskrive sådan:

\left|CP\right|=r\iff \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r\iff (x-a)^2+(y-b)^2=r^2\; .

Dette er cirklens ligning. Man siger, at ligningen fremstiller cirklen med centrum i C\; (a, b) og radius r.

Du skal logge ind for at skrive en note

Sætning 9.2. Cirklens ligning

Cirklen med centrum i C\; (a, b) og radius r har ligningen

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\; .

Du skal logge ind for at skrive en note

Animation om cirklens ligning

Du skal logge ind for at skrive en note

Eksempel 9.3

Cirklen med centrum i (3, 2) og radius 5 har ligningen

(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 25\; .

Du skal logge ind for at skrive en note
Fig. 9.7
Fig. 9.7
Du skal logge ind for at skrive en note

Punktet A\; (7, 5) ligger på cirklen, fordi det passer i ligningen:

(7 - 3)^2 + (5 - 2)^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25\; .

Punktet B\; (5, -2\frac{1}{2}) ligger ikke på cirklen, fordi det ikke passer i ligningen:

(5 - 3)^2 + (-2\frac{1}{2}- 2)^2 = 2^2 +(-4\frac{1}{2})^2 = 4 +20\frac{1}{4}= 24\frac{1}{4}\neq 25\; .

Du skal logge ind for at skrive en note

Eksempel 9.4

I skemaet ses nogle eksempler på cirkelligninger med centrer og radier:

Du skal logge ind for at skrive en note
LigningCentrumRadius

(x+4)^2+(y-7)^2=16

(x-1)^2+(y+12)^2=10

x^2+(y-3)^2=9

(x+4)^2+y^2=1

x^2+y^2=4

(-4, 7)

(1, -12)

(0, 3)

(-4, 0)

(0, 0)

4

\sqrt{10}

3

1

2

Du skal logge ind for at skrive en note

Interaktivitet: Find centrum og radius

Du skal logge ind for at skrive en note

Omformning af cirklens ligning

Ligningen

\tag{(1)}(x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 36

fremstiller en cirkel med centrum (4, -3) og radius 6. Vi kan udregne parenteserne ved hjælp af kvadratsætningerne, så cirklens ligning også kan skrives sådan:

x^2 - 8x + 16 + y^2 + 6y + 9 = 36\iff

\tag{(2)}x^2 + y^2 - 8x + 6y - 11 = 0\; .

I den sidste ligning kan man ikke umiddelbart aflæse radius og centrums koordinater. Vi skal derfor se på, hvordan en ligning af typen (2) kan omskrives til en cirkelligning af typen (1), hvor vi kan aflæse centrum og radius.

Lad os derfor se på ligningen

\tag{(3)}x^2 + y^2 + 6x - 10y + 14 = 0\: . 

Ideen er, at leddene x2 + 6x og y2 − 10y er dele af kvadrater på toleddede størrelser, hvor 6x og −10y er de dobbelte produkter:

(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9\quad\text{og}\quad (y - 5)^2 = y^2 - 10y + 25\; .

Tallene 3 og -5 er valgt i parenteserne, fordi vi så får de dobbelte produkter 6x og −10y.

Hvis vi lægger 9 og 25 til på begge sider i ligningen (3), får vi

x^2 + y^2 + 6x - 10y + 14 = 0

\iff x^2 + 6x + 9 + y^2 - 10y + 25 + 14 = 9 + 25

\iff (x + 3)^2 + (y - 5)^2 = 20\; .

Altså fremstiller ligningen en cirkel med centrum (-3, 5) og radius \sqrt{20}.

Du skal logge ind for at skrive en note

Eksempel 9.5

Lad os se på tre ligninger af 2. grad i x og y og prøve at omskrive dem:

                                   \displaystyle x^2 + y^2 - 4x + 8y + 11 = 0                            (4)

                                   \displaystyle x^2 + y^2 - 4x + 8y + 20 = 0                            (5)

                                   \displaystyle x^2 + y^2 - 4x + 8y + 30 = 0                            (6)

Ligning (4). Vi omskriver som ovenfor:

(x^2 - 4x + 4) + (y^2 +8y + 16) + 11 = 4 + 16

\iff (x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 9

Altså fremstiller ligningen (4) en cirkel med centrum i (2, -4) og radius 3.

Ligning (5) omskrives:

(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 8y +16) + 20 = 4 + 16

\iff (x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 0

Da de to led på venstre side i den sidste ligning er positive eller 0, må de begge være 0, for at ligningen kan være opfyldt. Dette kan kun lade sig gøre, når x = 2 og y = −4. Ligningen fremstiller altså et enkelt punkt i planen, nemlig (2, -4).

Ligningen (6) giver

(x^2 - 4x +4) + (y^2 + 8y +16) + 30 = 4 + 16

\iff (x - 2)^2 + (y + 4)^2 = - 10

Her er venstre side positiv eller 0, mens højre side er negativ. Der findes derfor ikke noget punkt (x, y) i planen, der passer i ligningen. Ligningen fremstiller intet.

Du skal logge ind for at skrive en note

Vi kan af eksempel 9.5 se, at der gælder:

En andengradsligning i x og y hvor koefficienterne til x2 og y2 er lige store, kan fremstille

en cirkel - et punkt - intet.

Du skal logge ind for at skrive en note

Video om omformning af cirklens ligning

Du skal logge ind for at skrive en note
ISBN: 9788761636171. Copyright forfatterne og Systime A/S 2018